概率密度函数怎么求（两个随机问题：概率密度函数的推导与逆变法）

[专业笔记]系统建模与仿真-两个随机问题

目录

• 概率论浅谈
• 问题1：顾客到达间隔时间的概率密度函数推导
• 问题2：生成指定分布的随机数的方法-逆变法的证明

正文

*1* 概率论浅谈

翻开概率论的教材，会发现它与其他数学分支如代数、几何、微积分等有很大的不同。它的例题习题来源于现实生活，有鲜明的应用性。而其他数学分支只有少部分内容有应用背景，大部分内容包括例题习题都是抽象的推理，从公式来到公式去。对于后者，不爱动脑筋的同学套公式也能解题，但是对于题目是什么意思能够解决什么实际问题并不清楚。概率论的习题不一样，首先要理解问题，能用数学语言表达出题目的含义，才能解题。

另外，要理解概率的含义是随机的（未知的）变量的取值的可能性。是一个统计特征。按照大数定律，重复试验次数越多，事件发生的次数越接近概率。切不可用一次试验的结果，去反驳说概率不对。可以把概率看作试验开始之前对试验结果的预判。一旦得到结果，就是确定值不再是随机变量，与概率含义完全不搭界。比如，抛硬币正面向上的概率是50%，抛得次数越多，正面向上比例越接近50%。但是抛一次的结果就是正或反。不能因此说概率是100%或0%。概率论是既有趣也容易让人迷糊的学科甚至有些数学教授写的书都错了。广泛流传的三门问题及其答案也是错的。

*2* 问题1：顾客到达间隔时间的概率密度函数推导

考虑一个商店，顾客的到达时间是随机的。采用概率分布来描述，常用的是泊松分布。若采用平稳泊送过程描述，则有：在(t,t+s)内到达的顾客数k的概率为 其中N(t)表示在(0,t)区间内到达顾客的人数，t≥0,s≥0,k=0,1,2,...,λ为到达率。求证：顾客到达的时间间隔服从指数分布，即密度函数为 。其中s是间隔时间。

证：

(*)含义：时间间隔S内无人到达的概率

(1)含义：时间间隔S内有任意多人(≥1)到达的概率（分布函数）

定义f(t)表示两人到达时间间隔为t的概率密度，即时间间隔为t时有人到达的概率密度。

(2)含义：时间间隔S内任意时刻有人到达的概率总和（分布函数）

可见(1)(2)是同一事件的概率，只是分析角度不同：(1)是从到达人数来说，(2)是从到达时刻来说。

因此 , 即

求导得

得证。

*3* 问题2：生成指定分布的随机数的方法-逆变法的证明

在进行离散事件系统仿真研究时，我们需要生成指定分布的随机数。有一种实用的方法-逆变法：

假设指定分布函数为F(x), 则先生成[0,1]均匀分布的随机数集U, 那么 即为分布函数为F(x)的随机数集。其中表示F(•)的反函数。下面我们来证明。

证：

假设U为[0,1]均匀分布的随机数。令。

∵F(x)是分布函数，∴它是单调递增的。因此

得证。