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一阶齐次微分方程通解推导(微分方程的基本概念 通解与特解)

100次浏览     发布时间:2024-11-09 10:21:33    

微分方程: 一阶微分方程、二阶微分方程、三阶微分方程……

斜率y'=dy/dx=2x y=∫2xdx 曲线方程y=x^2+C

因其通过点(1,2)代入曲线方程得C=1

所以y=x^2+1


a=d^2S/dt^2=-0.4 通过二阶导加速度可以求一阶导v=dS/dt=-0.4t+C1 通过速度v可以求原函数路程S=-0.2t^2+C1t+C2

当t=0时,S=0,v=20,代入一阶导得C1=20,代入二阶导得C2=0

故 v=-0.4t+20,S=-0.2t^2=20t

基本概念:含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系方程(含有未知函数的微分或导数的方程)叫微分方程。

①微分方程的解:方程的解中含有任意常数,如果微分方程的接种含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同时,这样的解叫做微分方程的通解

给通解中任意常数以确定值的解叫微分方程的特解.为了得到满足要求的特解,必须根据要对微分方程附加一定的条件,这样的条件叫做初始条件

②微分方程的初始条件

一阶方程的初始条件:


二阶方程的初始条件:


③微分方程的阶数

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程。一个n阶方程的一般形式可表示为:F(x,y,y',…y^<n>)=0

这里x为自变量,y是x的未知函数,而y',y",…y^(n)依次是y的一阶、二阶,……,n阶导数。

例1: 求微分方程dy/dx=3x^2的通解,并求满足初值条件y|x=2=1的特解。

解:直接积分得方程的通解为:y=x^3+C

代入初值条件:当x=2,y=1解得C=-7

满足初值条件的特解为y=x^3-7

例2: 验证:函数x=C1coskt+C2sinkt是微分方程d^2x/dt^2+k^2x=0的解.并满足初始条件x|t=0=A,dx/dt|t=0=0的特解.并求满足初始条件x|t=0=0的特解.

解:因为dx/dt=-kC1sinkt+kC2coskt,d^2/dt^2=-k^2C1coskt

-k^2C2sinkt=-k^2x,

函数x=C1coskt+C2sinkt有两个任意常数,且是方程的解。故是方程的通解.

代入初值条件:x|t=0=A,dx/dt|t=0=0

C1=A,C2=0,代入函数x的表达式中,得到特解:x=Acoskt

小结:微分方程非初值问题(即无初始条件)的解是通解,其几何图形是曲线族;微分方程初值问题的解是特解,其图形是一条曲线.反过来,微分方程反映了满足此方程的曲线(族)的特征.

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